平成１５年度 サイエンスパートナーシッププログラム事業（SPP）への参加

「正１２面体の対称性」

第１回：金平糖のような立体を作ろう

第２回：正１２面体を動かそう

第３回：解けないパズル？

概して：

初日：金平糖のような立体を作ろう

初日は とにかく 紙工作をすることをメインにしました。
作ってもらったものは 上記の形です。
何にみえますか？ 金平糖のようですか？

では上記の写真で、 緑の部分だけをみてください。
見えてきたでしょうか？緑の部分だけに注目すると
一つの正４面体ですね。

１度見えはじめると、とたんに 他の色も四面体であることが
見えてきます。

ピンク、オレンジ、緑、黄色、青。

これは ５つの四面体が複合した形です。
私は とても 美しい形だと思うのですがそう思いませんか？





小学生低学年の頃だったと思います。
はじめて 星形（五傍星）という 形を知ったとき、
とても綺麗な形だと心魅かれたことを覚えています。
でも、はじめは うまく一筆書きができなくて、
どうやって この図形を書いたらいいのだ？ と考えたように思います。
そして 子供ながらに考えたのは こうでした。




「そうだ 真ん中に正５角形がある。
はじめに５角形を書いて 辺を延長すれば星形になるんだ。」

正多面体に対しても これと同じ発想で 種々の星形を作ることができます。
つまり、 正多面体の辺と面を延長するのです。
例えば、 正１２面体の辺と面を少し延長すると 次のようになります。

正１２面体の辺を延長する動画

正１２面体の頂点を繋いで正四面体の複合を作る動画

授業で使用した型紙 その１
授業で使用した型紙 その２

２日目：正１２面体を動かそう。

正１２面体の対称性が今回のテーマです。
図形の対称性とは何でしょう？


小学校では 点対称と線対称を習いますが、
そのどちらでもないけども 何か「対称性」の見える図形というのも
ありますね。



対称性とは 「その図形を不変にする動かし方がある」ということができます。

たとえば 正三角形でいうと
３つの対称軸に関する線対称以外にも、
「中心に関して１２０度回しても 不変」という対称性があります。

でも、 動かし方を いちいち 「中心に関して１２０度の回転」とかいうのは面倒で
動かし方 がたくさんあるときに 調べるのには とても不便です。

しかし 正三角形の 頂点に１、２、３と番号をつければ
３つの頂点の移り変わりで 動かし方を記述することができて 便利です。
実際、 正三角形を不変にする動かし方と、 ３つの数字 １、２、３の並び替えとは
１対１に対応するのです。
→


さて 正１２面体に話を戻しましょう。
正１２面体には ２０個も頂点がありますので、頂点の移り変わりで
記録していたら 大変です。 何かよい方法はないでしょうか？


そこで 今回の 金平糖のような形を使いましょう。
今回作ってもらった 立体は 正１２面体の 頂点をつないだ形ですから
正１２面体の代わりに この金平糖のような立体を形が変わらないように
動かしてみます。

→

動画

授業で使用した記入用紙

動画

３日目：解けないパズル？

２日目では 正１２面体の対称性を５つの 色の移り変わりで調べてもらいました。
さて、 正１２面体を不変にする動かし方は 全部で６０通りです。
ところが ５つの色の 並び替えは全部で１２０通りあります。


１２０通りの並び替え方のうち、
正１２面体の回転と対応が あるモノと 無いモノがあって、
それぞれが 半分半分なのです。


これは どういうことでしょう？


さて、つぎの写真のような パズルを考えます。
１、２、３、４、５と５つの数字がありますが、
この５つの数字を適当に並び替えます。

並び替えた状態から始めて、 空きマスに 数字を移動させることを繰り返して、
もとの１、２、３、４、５と並んだ状態に 戻せるでしょうか？
ちょっとした パズルですね。

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このパズルを 生徒たちに調べてもらうと、
正１２面体の回転に現れる 並び替えだと 解けるのに
正１２面体の回転に現れない 並び替えだと 解けません。

どうしてそうなるのか、
偶置換と奇置換ということについて 簡単に講義致しました。

そして、置換の偶奇について、わかってもらった後、
最後に ちょっと トリックのある次のような パズルに挑戦して
もらいました。


次の図のように正方形の図柄が ９枚のパネルに分割されて並べられています。




さて、左下の１枚を外して 一番下中央と右下のパネルを 入れ替えた状態を 初期状態とします。
この初期状態から パネルを空きマスに移動させることを繰り返して 右の ゴールの状態にできるでしょうか？

パズルのパネルの用紙