polydron その１





今、学部のゼミではグラフ理論関係のことを扱っているのですが、
いずれ多面体に関する内容へシフトしようと思っていまして、
大学の予算で ポリドロンという教具を大量に「大人買い」しました。

ポリドロンというのは、実際に手に取ってみると 見た目は いままでこのサイトで 紹介してきた
例の100円ショップで売っていた”3D geo shapesもどきと”と何ら変わりません。
ただ、材質が もうすこし かっちりした硬質のプラスチックになります。
＃本物の”3D geo shapes”は 触ったことがないので分かりません。。
このポリドロンと 「あそびをせんとや」で紹介されている3D geo shapesは
どういう関係にあるのでしょ？出元は同じなんでしょうかね。

さて、先週の金曜日に大学に届きまして、この週末は自宅に持って帰り
いろいろ検討してみました。

最初につくったのは、立方体と正8面体の相貫体。



というのも 今回購入したセットには正多角形以外にも、
いくつかの三角形がはいっているのです。
基本となる正多角形のユニットの1辺の長さを１としたときに、３辺の長さが
（１、１、√２）の直角二等辺三角形、
（１、√２、√２）の二等辺三角形、
（√２、√２、√２）の大きめの正三角形、
がいくつか入っています。

さて、この後何を作ろうかなぁと考えていたら、家内が「ちょっといじっていい？」と
何やら作り始めました。彼女が作っていたのは小菱形立方8面体でしたが、
何やら色にこだわりたいらしく、困っています。このセットはどのパーツも
4色しかないので、4色できれいな配色を考えている様子。
しばらくして、彼女の完成品をみると なかなかの配色でした。



小菱形立方8面体の12個の「斜めの面」は 菱形１２面体の12個の面と対応しますが、
ようするに彼女の配色は菱形１２面体の面を4色で塗り分ける配色です。
それを図示すると、下図のようになります。



菱形１２面体の頂点には次数４（辺が４本集まる）の頂点が６つと
次数３の頂点が８つありますが、上の配色では次数４の頂点の回りには
かならず4色が集まっています。
また、４つの色の巡回置換は４！／４で 6通りありますが、
この菱形１２面体の６つの「次数４の頂点」のまわりに
その6通りの巡回置換がすべて現れています。

菱形１２面体の面というのは、立方体の辺と１対１に対応します。
つまり 菱形１２面体の面の塗り分けは 立方体の辺の塗り分けに
対応するわけですが、そのように図示したほうが分かりやすいかも
しれません。



立方体の面の周りの辺の配色は 6通りの「4色の巡回置換」になっています。

さて、今回のポリドロンにも、さすがに菱形のパーツは含まれていない
のですが、家内の作った 小菱形立方8面体を見ているうちに
なんとか菱形１２面体らしい形をつくりたくなりました。

いろいろ考えるうちに、正方形のまわりに正三角形をつけた形を
「菱形」と見立てれば、先端のとがった菱形１２面体のような感じに
ならないかな？とおもい、作ってみたのが今回の形です。
配色は 先の菱形１２面体の配色と本質的に同じです。
次数４の頂点の回りで、4色の出会い方は ひとつとして同じものがありません。




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