リングの蟻継パズル






上の画像のトーラス（＝ドーナツ上の形）は５つのパーツが蟻継ぎによって 繋がって出来ています。
蟻継ぎとは ジグソーパズルのピースとピースを繋ぐときのような形で、
木材と木材を繋ぐ方法のことです。（種々の方法があるようですが、今回のは一番簡単な継ぎ方）
蟻継ぎの方向は ５つの繋ぎ目で全て異なるようになっています。具体的にいうと
リングをたどっていくと、繋ぎの方向が少しずつずれていって、一周したときに
ちょうど180度回転して 元に戻るようになっています。

繋ぎ目の方向が全て異なるので、ぱっと見ると 外すことが出来なさそうな気がします。
さてさて、この物体、うまく５つのパーツに分解することが出来るのでしょうか？

きちんと数学的に考えてみましょう。次の図のように５つのパーツに名前をつけます。
実はＰとＱは動かないままで この物体をパーツに分解することが可能なのです。

まず、Ａについて考えてみますと、Ｐは動かないので、Ａは蟻継ぎの部分に沿った動き
つまり、次の図の黄色い矢印ｘに沿った動きしかできません。

次にパーツＢについて考えてみますと、ＢとＡはやはり蟻継ぎによって繋がっていますから、
Ａに対するＢの相対的な移動方向は やはり図に書き込まれた黄色い矢印ｙの方向になります。




同様に パーツＣの パーツＢに対する相対的な移動方向も図に書き込まれた黄色い矢印ｚの方向になります。

ここで、
パーツＡがベクトルｘのｓ倍で動き、パーツＢがパーツＡに対してベクトルｙのｔ倍で動き、
パーツＣがパーツＢに対してベクトルｚのｕ倍で動くとすると、
パーツＣの動きは これらの合成つまり ｓｘ＋tｙ＋ｕｚで動くことになります。

さて、パーツＱも動かないと言いましたから、ＱとＣの繋ぎ目部分について考えれば
パーツＣの動きは緑色のベクトルｖに沿った動きでなければ行けません。

結局問題は次のようになります。ベクトルｘ，ｙ，ｚをスカラー倍して足し合わせたものが
ベクトルｖに等しくなるように出来るか？ 線形代数の用語を使えば、
ｖをｘ，ｙ，ｚの一次結合で表すことができるか？ということです。

実は このときｘ，ｙ，ｚは一次独立なので、いかなる３次元ベクトルでも
ｘ，ｙ，ｚの1次結合として表すことができます。
つまり、３つの黄色いベクトルに沿った動きの大きさを上手く調節すれば
同時にパーツＡ，Ｂ，Ｃを動かして 外すことが出来るというわけです。

下の画像にマウスで 触れると 実際に外すところをみることができます。
（ちょっと重たいかもしれませんが。。）




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