曲がったタイリング

今回の画像は２つの異なった方法で解説することにします。

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まず、タイリングを使った説明から：

つぎのような特殊な方法で三角形のタイルを平面に敷き詰めることを考えます。
まず、三角形を１つ描いて（図の黄色の三角形）、その三角形を
辺を対称軸としてパタンと鏡映すると３つの裏返しの三角形ができます。（３つの青い三角形）
それらの三角形をさらに辺でパタンと裏返すと今度はおもての三角形が増えます。（オレンジ色の三角形）
さらに それらの三角形を、、、と繰り返すのです。



このようなタイリングを鏡映タイリングと呼ぶことにしましょう。（正式名は知らない）
ただし、ここでは裏の三角形と表の三角形が常に隣り合わせになるという条件をつけます。
だから頂点の回りに奇数個の三角形が集まるのはダメです。

当然、いつでもそのような方法で、きれいにタイリングが出来るわけではなくて、
いまの場合でいうと三角形の３つの角が180度を自然数で割った角度でないとだめです。
そうしないとうまくいかずにタイルとタイルが重なってしまったりするのです。

三角形の内角の和が180度なので、ちょっと計算すると、
このようなタイリングが出来る三角形は正三角形、直角2等辺三角形、と、
３つの角が30度60度90度の三角定規の三角形だけだということがすぐ分かります。

でも これだけでは 面白くない。

そこで、次のような曲がった三角形を考えます。つまり、３つの辺が
線分ではなくて弧で出来ている『三角形』を考えるのです。



今回は辺が曲がっているので「辺を対称軸として、鏡映する」が使えませんから、
その代わりとなる何か代替物が必要です。そこで円に関して鏡映するという概念を使います。

次の図のように円Oの中心から伸びる半直線上の点X,Yが
|OX|×|OY|＝(円の半径)²
を満たしているとき XとYはこの円に関して対称といいます。
これを使って点を円に関して対称な位置に写す写像を円に関する鏡映とするのです。
円に関する鏡映がどんな動きをするかを示す簡単なアプレットをシンデレラで

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