立方体を斜めに編む（再び）
過去の表紙３０、
過去の表紙３２
で書いたことを思い出してください。
過去の表紙３０では 立方体の表面に線分を書いて
その線にそってすすむ帯を上下交互に通るように編むことで
「立方体を斜めに編む」と題したのでした。
さて、そこでは 立方体の辺を2n等分して
頂点から辺の長さの1/(2n)、 3/(2n)、 5/(2n)、、、、 (2n-1)/2n、
進んだところにある
等分点を、対辺同士 １つずらして むすぶことで 格子模様を
立方体の表面につくったのでした。
たとえばn=3の場合が
であり、n=2の場合が
です。これで帯を編むと 一つの辺を帯が１方向にｎ本またぐようになって、
それらが１つずれて対辺に抜けていきます。
さて、ここで１つの辺を ｎ本の帯がまたぐようにして、
対辺とｋ個ずれて抜けていくようにしたらどうなるでしょう？
この一般化を考えてみます。
１つの帯をｎ本の帯がまたいでいて、対辺にｋ本ずれて抜けていく編み方を
（ｋ／ｎ）の斜め編みということにしましょう。（ただし ｋ＜ｎ）
例えば（３／４）、（２／５）、（３／５）の斜め編みについて
立方体のひとつの面のうえの帯のつながり具合いは次のようになります。
３／４の斜め編み
２／５の斜め編み
３／５の斜め編み
これで編むとどうなるでしょう？ＣＧで帯の進む道筋を描いてみました。
つぎの画像はそれぞれ ２／４，３／４，２／５，３／５の斜め編みの
１つの帯の進む道筋です。
これにそって編むと何本必要なのか、考えてみると次のようになりました。
それぞれ12本、3本、3本、4本です。今回は12本のパターンが現れました。
一般に（ｋ／ｎ）の斜め編みだと 何本の帯になるのか？
1本の帯となるような（ｋ／ｎ）もあるのか？
かなり難しそうです。
（03.10.30 追記）
その後、某MLで知り合った「かわかみ」さんからメールを頂き、
何通かのメールのやり取りなかで、
ｎとｋが互いに素のとき、
帯の数は３、４、６、１２のいずれかになる
ことが証明されました。
また、ｎとｋの最大公約数がｄのときは 帯の数は
３ｄ、４ｄ、６ｄ、１２ｄのいずれかになる
ことも証明されました。
いずれ詳しく書きたいのですが、書くネタが たまってきたので
とりあえず ここに報告しておきます。
上記の帯の道筋を生成するPOVファイルをつくりましたので、
置いておきます。実験用にどうぞ。
このPOVファイルで、１つの帯の道筋はKとNの値から自動生成されますが、
何本の帯が必要になるか等はわかりません。
また、複数の帯を配置させるためのパラメータloopsは不完全です。
とりあえずはloops=1で レンダリングするといいかと。
というか、たぶん（ｋ／ｎ）の斜め編みにおいて、
ｋとｎが互いに素でないときは
一般に帯の道筋の種類も複数になると思います。
そういうことには対応していません。
POVファイル
たとえば Ｎ＝１７，Ｋ＝１，２，３，４．．でｌｏｏｐｓ＝１を試してみてくださいな。
Ｎ＝１７，Ｋ＝９、ｌｏｏｐ＝４なんてのも綺麗です。
もどる。
