第１回
幾何学Iでは 初等平面幾何を扱います。
初等幾何というのは、数学という学問の展開方法を知る上で 良い教材の１つです。
ようするに平面上の図形に関する性質について考えたいのですが、
「長さや角度の求め方」ではなく、「性質」としているところがミソです。
性質を述べたものを命題といいます。
命題を主張するだけでは だめです。誰もが納得する方法できちんと説明しないといけません。
このきちんとした説明のことを 証明といいます。
きちんとした説明とは なんでしょう？数学者たちは 正に このところに こだわりました。
「本当に、きちんとした証明」に至るまで 2000年もかかっているのですから。
証明というのは より簡単な事柄、より当たり前な事柄に分解して 述べたい命題を
説明していきます。でも、分解した事柄に対しても、「何故？」と聞かれたら
どうしましょう。さらに 簡単な事柄に分解しても、「それは何故？」と聞かれたら
キリがありません。そこで、ユークリッドは公理という考えを編み出しました。
ユークリッドによって、公理、定義、定理(=命題+証明) というスタイルが
出来上がったわけですが、厳密なものではありませんでした。
本当に厳密な学問にするためには どうすればいいのか？
そして 19世紀にヒルベルトが「幾何学の基礎」を著しました。
「幾何学の基礎」では 点や直線は 定義されない用語（無定義用語）であり、
公理は 「明らかに正しいこと」ではなく、「正しいと仮定すること」になりました。
こうして この時代になってようやく 厳密な意味で矛盾なく、厳密にきちんとした
証明ができる 幾何学の枠組みができあがったのです。
この講義の前半では ヒルベルトの公理系を やや簡単で扱いやすくした公理系にそって
ひとつひとつ 幾何学を構築していきます。
初回の講義では 点や直線の結合と順序に関する公理を述べました。
第2回
この授業で扱う公理系は、次のプリントにまとめられています。
プリントはここ→
PDFファイル
こうして改めて まとめてみると、なんと公理は８つ。たった８つの公理だけから、
平面幾何に関する全てのことが証明されるのです！
前回の授業で述べた直線に関する公理には 距離の導入が含まれていました。 (注１)
それによって、半直線や線分という概念も使えるようになります。
次に、角という概念を導入したいのですが、そのために半平面を定義します。
直線を1本引いたときの あっち側とかこっち側とかを半平面と言いたいのですが、
これでは 正確な定義とは言えませんね。そこで つぎのような定義をします。
定義：
直線mとその上にない点A、点Bがある。
線分ABが直線mと交わるとき、A,Bは直線mに関して 反対側、
線分ABが直線mと交わらないとき、A,Bは直線mに関して 同じ側、
にあるという。
前回の授業で示した公理の一つ
公理4：
A,B,Cは1直線上にない3点、直線aは A,B,Cのいずれも通らないとする。
そのとき、直線aがAとBの間の点を通るなら、直線aは必ず BとCの間の1点か、AとCの間の
1点か、いずれかを通る。
を用いると、例えば「直線mに関してAとBが同じ側、BとCが同じ側なら AとCも同じ側」
というようなことも証明できます。そこで、直線m上にない点Aを取ったとき、
Aと同じ側にある点の集合を半平面と定義します。
この定義はとてもうまい定義になっています。
さて、端点Oを共有する 一直線上にない ２つの半直線OA,OBがあったとき、
直線OAに関してBと同じ側で、かつ、
直線OBに関してAと同じ側である点の集合を狭義の角、つまり劣角∠AOBと定義します。
これだと いわゆる「１８０度より小さい角」しか出てきませんので、
これに平角（半平面のこと）と 優角（半直線OA,OB以外の点の集合で 劣角∠AOBに入らない点）
を適宜定義し、角と呼ぶことにします。
ようやく角が定義できました。ふぅ。厳密な論理展開は大変です。
とにかく 何でも証明しなければいけませんし、証明に使えるのは公理のみです。
さて、角が出てきたら角の大きさがないと不便です。
実は ヒルベルトの公理系には 角の大きさという概念は出てこないのですが、
本講義では 公理として 角の大きさも付け加えました。
これで、補角、対頂角、直角、垂直等のおなじみの用語が使えるようになります。
注１）ヒルベルトの公理系では 2点間の距離という概念は出てきません。
２つ線分が合同か、どうか。それだけしか扱っていません。
第3回
次に重要となるテーマは合同です。
中学の数学の授業等では、合同とは「ぴったり重なるように動かすことができること」という
ようにかかれていますが、「動かし方」が分からず、曖昧な記述です。
これでは 厳密な議論ができません。
まず、もっとも基本的な要素、線分と角について合同を定義しました。
２つの線分が合同とは それらの長さが等しいことです。
２つの角が合同とは それらの角度が等しいことです。
つぎに 線分や角の「移動」について述べました。移動といっても
本当に動かすのでは ありません。もとの線分や角と合同なものを
指定した場所に作ることができる、ということです。
これは 線分については すでに登場している公理から示すことができるのですが、
「角の移動」については 新たな公理が必要となります。
すなわち、
公理 6：
任意の劣角∠ AOB、半直線O'A'、直線O'A'で決まる半平面αに対して
α内に点B'をとり、∠ AOB=∠ A'O'B'となるように出来る。
を新たな公理として 加えました。これで6番目の公理です。
さて、今後 多角形、特に3角形について 話をしたいので、
多角形を定義しなければ なりません。
大まかに言うと、多角形は 閉じた折れ線で自分と交差しないものです。
多角形は 平面を 多角形の内部と外部に分けるのですが、これは証明が難しいです。
ただ、今後扱う 三角形については内部の定義は明らかです。
三角形ABCの内部とは 三角形の辺上にない点のうち、
直線ABについて Cと同じ側で、かつ
直線BCについて Aと同じ側で、かつ
直線CAについて Bと同じ側となるものの集まりです。
この後、三角形の合同について議論したいので、その前に
２つの三角形が合同とは どういうことか定義しなければ
なりません。ここでは２つの三角形について、
「対応する３つの辺と３つの角が それぞれ合同になる」ときに、
「その２つの三角形は合同」と定義します。
ところで、 中学校等で 三角形の合同条件というのを 習いますが、
（二辺挟角とか二角挟辺とか三辺合同とか 聞いたことあるでしょう）
あれはどうやって証明したのでしょう？そもそも 証明したでしょうか？
では どうすれば証明できるでしょう？
当然、今の議論では、公理から証明する必要があります。
ところが いままでの6個の公理だけでは 証明できません。
新たな公理が必要となります。そこで、
公理 7：
三角形ABCと三角形A'B'C'において
AB=A'B'、AC=A'C'、∠ A= ∠ A' ならば ∠B= ∠B'。
という新たな公理を用意します。これで まだ登場していない公理は残すところ１つとなりました。
この公理を使って、授業では 二辺挟角、二角挟辺が
三角形の合同条件になることを証明しました。
いままでに証明した２つの合同条件を用いれば、
定理：
二等辺三角形の底角は等しい。
とか
定理：
二等辺三角形の頂角の二等分線は 底辺を垂直に二等分する。
といったお馴染の定理を証明することが出来るようになります。
さて、二等辺三角形の諸性質の証明のなかで、言及しましたが、
いまの段階ではまだ、点から直線へ垂線を下ろすということはできません。
なぜなら、まだ
「与えられた点Ａと直線ｍに対して、Ａを通りｍに垂直な直線が存在すること」を
示してはいないからです。当たり前の事柄のようですが、いまの議論の立場では
「公理」以外のことは証明しなければいけませんから、当然 これも
証明しなければいけないことです。
しかし、先ほど示した二等辺三角形の性質を用いれば、
垂線の存在を証明することができます。
定理：
「直線mとその上にない点Aが与えられたとき、Aから直線mへ少なくとも1本は垂線を引くことができる」
これで、ようやく垂線を下ろせるようになりました。
第4回
この後、「三辺相等」の合同条件を示します。というのも「三辺相等」という
合同条件を示すのに二等辺三角形の性質を用いたいからです。
三辺相等の合同の定理は 他の合同条件にくらべて やっかいなのです。
さて、これで 「二辺挟角」「二角挟辺」「三辺相等」という
２つの三角形が合同になるための 3つの定理が出そろいました。
ところで、考えてみると、今は証明できませんがいずれ三角形の内角の和が180度だという
ことが示されますから、二角が等しければ 対応する角はすべて等しくなります。
つまり、「二角挟辺」は「２つの角と１つの辺が等しい」でよいわけです。
では 「２つの辺と（その間ではない）１つの角が等しい」ときはどうなるのでしょうか？
あまり 有名ではないですが、次の定理が成り立ちます。
定理（二辺と１対角）：
三角形ABCと三角形A'B'C'において、
∠B＝∠B’、 AB＝A'B'、AC＝A'C'ならば、
次の２つのどちらかが成り立つ。
- 三角形ABC≡三角形A'B'C'
- ∠C＋∠C'＝180゜
つぎの定理を見てください。
にせ定理：
すべての鋭角三角形は二等辺三角形である。
そんな、馬鹿な！？という定理ですね。では、その『証明』を載せておきましょう。
にせ証明
三角形ABCの３つの角は鋭角とします。
右の図のように、BCの中点をMとし、
BCの垂直二等分線と角Aの二等分線の交点をDとします。
まず、DはBCの垂直二等分線上にあるので、先に示した二等辺三角形の性質を用いて、
DB=DCとなります。
つぎに三角形ADBと三角形ADCについて、
DB=DC、 AD共通、 ∠BAD=∠CAD
となるので、上記の「二辺と１対角」の定理が成り立ち、
「∠DBA＋∠DCA＝180゜」もしくは「三角形ADB≡三角形ADC」となります。
ところが ∠DBA ＜ ∠CBA ＜ 90゜、∠DCA ＜ ∠BCA ＜ 90゜ですから、
「∠DBA＋∠DCA＝180゜」は成り立ちません。
つまり、「三角形ADB≡三角形ADC」ということになります。
よって AB=ACです。
こんな命題が成り立つはずはありません。ということは
そんな命題が証明されては困ります。つまり、この授業で示した証明は
どこか間違っているのです。どこが 間違っているのでしょうか？
実は 角の大きさの比較の際に、確認せずに誤って使ってしまっていることがあるのです。
この偽の証明の 示唆することは何でしょうか？
「図は正確に描かないといけない」ということでしょうか？
それでは 幾何学は図というものに頼った学問になってしまいます。
「正確な図とは何か？」「真っ直ぐな線とは何か？」という
疑問のスパイラルに またもや 落ち込んでしまいます。
そうではないのです。もっと論理に忠実に進める必要があったのです。
角の大きさの公理を提示したときに、述べたのですが、
右の図のような場合、∠AOBが∠AOCより大きいと主張するためには、
点Cが∠AOBの内部にあることを示しておく必要があります。
つまり、「直線OAに関してCとBは同じ側」、「直線OBに関して CとAが同じ側」
ということを示さなければいけません。
中学、高校の幾何では 「点が直線のどちら側にあるか」ということに関して
あまり気を使わなかったのですが、特に角の大きさの比較の際には
それらのことをきちんと示しつつ議論を進める必要があるということです。
第5回
三角形の１つの外角は、となりの内角よりも小さい、という定理を示しました。
まずつぎの定理を見てください。
定理：
三角形ABCのBCをCの側に延長したところに点Dをとる。
このとき ∠A ＜ ∠ACD
もし 三角形の内角の和が180度ということを使ってもいいなら、この定理は当たり前でしょう。
ところが 「三角形の内角の和が180度」ということを示すには次回に提示する「平行線の公理」が
必要なのです。逆にいうと「平行線の公理」が無くてもこの定理は示すことが出来ます。
（そして この定理は 後に「平行な２直線に対する錯角が等しい」事を示すのに必要なのです。）
上記の定理を用いると、例えば
直角三角形の直角以外の角は鋭角である。
というようなことも示すことができます。
話変わって、紙に適当に三角形を描いてみてください。そして、
３つの角に大きい順に番号を振り、３つの辺に長い順に番号を振ってみます。
すると、かならず 同じ番号の頂点と辺は 向かい合う位置にあるでしょう。
何となく いつもそうなのかな、という気がすると思うのですが、
これは 必ず 成り立つのでしょうか？きちんと証明しましょう。
定理：
三角形ABCにおいて、- 「∠A ＜ ∠B 」⇔「BC ＜ CA」
- 「∠A ＝ ∠B 」⇔「BC ＝ CA」
証明には 上記の定理と、背理法を拡張した転換法を用います。
最後に 上記の結果を使って 有名な「三角不等式」を証明しておきました。
この定理の証明、言われてみれば何て事はないのですが、
自分で証明に気付くのは難しいと思います。
定理（三角不等式）：
直角三角形ABCにおいて、 AB＋BC＞BC
この回でようやく、全ての公理が出そろいます。
最後の公理は平行線の公理です。とりあえず平行の定義をおさらいしました。
２つの直線は交わらないときに平行と呼ばれます。最後の公理は
公理 8：
直線ｍと、ｍを通らない点Ａに対し、Ａを通りｍに平行な直線は唯１つ存在する。
という有名な公理です。たとえばこの公理があれば
直線ｍとｎが平行であり、直線ｍとｋが交わるとき、直線ｎとｋも交わる
というような事も証明できるようになります。平行線の公理に関しては
次の定理が大事です。
定理 ：
2直線に交わる別の直線があるとき、錯角が等しいことと 2直線が平行であることは 同値である
証明は 前回の授業で最初に示した定理を使います。
（実は 上記の定理、「錯角が等しいならば2直線は平行」ということの証明には公理８は不要です。）
錯角に関する定理が証明できれば ようやく 三角形の内角の和が180度になることが示されます。
実は授業では扱いませんが、三角形の内角の和と 公理８は密接な関係にあるのです。
その他 多角形の内角の和は どうなるのか？星型の内角の和は どうなるのか？
について、簡単に問題提起をしました。
公理も出そろったことですし 今後はすこしずつ 証明を簡略化していきましょう。
第6回
ところで 次は四角形の性質について述べるのが順番なのですが、平行四辺形の性質等を
あまり細かく授業で扱うのも煩雑になりますので、平行四辺形、長方形、ひし形についての
諸定理はある程度簡略化して述べました。それよりも、四角形の種々の定義の関係を
樹形図を書いてみたりして、関連づけてかんがえたりしました。
そのように定義された四角形の関係を すこし高い視点から見渡すと、
凧型や、等脚台形という概念が自然に浮かんできます。
さて、このあと、比や相似といったことを話すのですが、そのような
比の概念を幾何に持ち込むのをいやがる人もいます。そういう人は、この講義で
ここまでで扱った合同を基本として、幾何の証明を組み立てる「円論」という
考えを大事にします。どうして、比が嫌われるのか、次の内容で見ていきましょう。
平行線な２本の直線に、互いに交わる２本の直線が交わると とたんに比の関係が現れます。
例えば、次の図で ａ：ｂ＝ａ’；ｂ’ですね。
これは 昔から普通に正しいと思って、使っている事柄だと思います。
しかし、このことをきちんと証明するのは 意外とやっかいなのです。
第6回までの授業で 公理から始めて、三角形の合同や 内角の和までたどり着きましたが、
今までに証明した事実を用いて、上記の比の関係を証明しました。
まずは、中点連結定理です。
中学校での、中点連結定理の取り扱いって、昔は合同を用いて「証明する内容」
だったのですけども、最近は 「公理的に扱われる三角形の相似条件」の特殊な場合
として取り上げられるに留まっているようですね。
でも、本当は順番が逆で中点連結定理が出発点だと思います。
というのも、今までに証明してきた手法は 基本的に合同によるものであり、
合同というのは「等しい」ということしか直接的には証明できないからです。
中点連結定理は 上の比の関係が１：１になっている場合に相当するわけです。
中点連結定理やその逆の証明を発展させると、ａ：ｂが整数比ならば、
ａ：ｂ＝ａ’：ｂ’であることが証明できることになります。
しかし、無理数比の場合には どうするのでしょう？
第7回
前回までで、平行線と比の関係を整数比の場合で、考えましたが、
実数（無理数）比の場合はどうしたらいいでしょうか。
そのときは 整数比で上下から挟み込んでいく方法で証明するのです。
説明は面倒なのですが、この手法は 数学では定石でして、
あちらこちらで 見られる基本的な証明方法なのです。
しかし、ここでどうしても極限といった解析的手法が登場します。
これが、幾何に「比」を持ち込むのをいやがる考えの原因なわけです。
さて、これで相似を考える準備ができました。
前回、「平行線と比」について 述べましたが、 これだけでは 何かと不便なので 相似という概念を定義し、
三角形の相似について まとめました。
中学校の数学の授業では、曖昧ながら
「形をかえずに大きさを拡大（縮小）した図形を互いに相似という」
と定義して、相似な図形の性質や、三角形が相似であるための条件は
半ば公理的に扱います。
ここでは、きちんと相似という関係を定義するために、
拡大写像を定義し、それを使って 相似の位置について定義して、
その後 相似を定義しました。
（本当はこれだと、「相似」という関係が「同値関係」か、が微妙なのですが、
まぁ あまりこだわるとキリがないし、拡大写像のように、
写像を用いて幾何を捉えるのは幾何学IIにまわそうと思います。）
その後、三角形が相似となる条件を証明し、まとめました。
第8回
相似が使えるようになれば、「三平方の定理」も証明できます。
三平方の定理まで来ると、ようやく公理から平面幾何を構築する、、
という作業も一段落しました。
ここが授業の折り返し地点です。
むしろ、ここからは いつもどおりの幾何の感覚で、いろんなきれいな
定理を証明していきたいと思います。
この後、相似の考えを用いて、 三角形の内角、外角の二等分線が対辺をどう内分、外分するか、という定理。 また、チェバの定理、メネラウスの定理,及び、 その逆を証明しました。
第9回
円論に含まれないものとして、「比」「相似」がありますが、「面積」もそうです。
この回は面積について、少し話しました。ただ、面積については、「解析I」でも
扱っているとのことなので、
・面積というものの、満たす基本的性質の確認。
・そのような性質を満たす「面積」という概念が存在することの証明は大変困難。
ということに留めました。面積の存在を仮定すると、小学校で学ぶように、
種々の面積公式が簡単に得られますが、これをもとに面積比を用いると、
比を扱う多くの定理が実に簡単明瞭に証明できます。
チェバ、メネラウスの定理など、いくつかの定理について、面積を用いた
見通しのよい別証明を紹介しました。
次週は、円についての基本的性質から始めたいと思います。
第10回
円の性質、円に内接する四角形、外接する四角形。
円周角、方べきの定理、接弦定理
第11回
三角形の五心
第12回
9点円定理、その他。
第13、14、15回
折り鶴の幾何学、試験
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定期試験 の 過去問！
幾何学Iは2018年度より濱中が毎年担当です．
以下に 過去に担当した年の 試験問題を置いておきます。