捻れ立方体を編む
捻れ立方体とは 次のような多面体です。
ここに次のように線を引くと
正方形６つと大きい正三角形８つを組み合わせたような形に見えます。
さらに ８つの正三角形に次のように線を引くと、
全体として 球面上に描かれた 交代絡み目の正則図になります。
そこで この正則図にそって 帯を編むと 何か面白いものが
できそうだ、ということで つくったのが最初の写真なのです。
出来上がってみると 思っていたのと違って
かなり立方体に近い形になりました。
また 帯の数は全部で４本です。３の倍数でないところが面白いです。
ということは ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸の間の対称性は
１つの帯の形の中に現れているはず。。
きちんと 説明すると こうです。
４本の帯をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとしましょう。
立方体の自己同型写像のうち位数が３のもの
（３回行うと 元に戻るもの、つまり 対角線についての120度の回転）を
行うと Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの置換が起こるはずです。
しかし、４つの文字の置換のうち 位数が３のものは
４文字中の ３文字の巡回置換だけですから、
このとき どれか１つの帯は 他へ移ることがありません。
このことから（対称性を考慮すれば）、
各々の帯は ある対角線を軸とする１２０度の回転で不変となること
が分かります。
上の写真で 一本の帯はどこを どう巡っているか 分かりますか？
