2005年03月の低次元日記
05.03.01
和も積も一致する自然数の３つ組
昨日、2/28の日記に書きましたが、和も積も一致する自然数３つの組について
今日も少し考えてみました。
たとえば、次の式をご覧あれ。
２＋８＋９＝３＋４＋１２、 ２×８×９＝３×４×１２
昨日書いたように、このように和も積も一致する２つの組は いくらでも見つかります。
では、和も積も一致する３つの組はあるでしょうか？これも簡単です。
昨日の話では 和、積が一致する組をみつけるのは、
積が１となる３つの有理数ｐ，ｑ，ｒ及び、
それに対して決まるあるベクトルと直交する有理ベクトルを見つけることでした。
結果だけいうと、和、積の一致する組を３つみつけるには、
２つのベクトルと直交する有理ベクトルを探すことになります。
考えるベクトルは ３次元だから、ここまでは問題なくすすみます。
たとえば、
１５＋３４＋５６＝１７＋２８＋６０＝１４＋４０＋５１
１５×３４×５６＝１７×２８×６０＝１４×４０×５１
です。このあと、和、積の一致する４組を求めようとすると、急に難しくなりました。
３次元内で、３つのベクトルに直交するベクトル、、というのは普通はあり得ないのですが、
３つのベクトルが一次従属（平面内に収まる形）になっているような例外的な場合には
存在するわけです。そのような例外的な状態をもとめるのは、どうも
平面の３次曲線上の有理点を求めることになりそうです。
専門外の私にはお手上げ。
そこで、コンピュータで 息抜きにそのような例を探すプログラムを組んでみました。
数分で作ったので、まったく工夫のないごり押し計算でしたが、すぐに見つかりました。
１４＋５０＋５４＝１５＋４０＋６３＝１８＋３０＋７０＝２１＋２５＋７２
１４×５０×５４＝１５×４０×６３＝１８×３０×７０＝２１×２５×７２
おもしろい！８０以下の自然数の組について検索した限りでは
５組の和と積が一致する例はありませんでした。これ以上、検索するには
もうちょっとマシなプログラムにしないと。。。
続編
夕飯を食べた後、ついついプログラミングをしました。
あぁ、ひさしぶりに2分木だの、ポインタだの、mallocだのを使いました。
むぅ、久しぶりにやると忘れてるなぁ。とかいいつつも、
とても楽しくプログラミングの時間を過ごしました。
はてさて、とりあえず すぐに見つかったことには
和も積も一致する ５つの組はあります。
１１＋８４＋９０＝１２＋６３＋１１０＝１５＋４４＋１２６＝１８＋３５＋１３２＝２２＋２８＋１３５
１１×８４×９０＝１２×６３×１１０＝１５×４４×１２６＝１８×３５×１３２＝２２×２８×１３５
です。いずれも、和は185、積は83160でした。これ以上の実行結果については、また明日。
05.03.02
続き
朝、大学に着いて 昨日作ったプログラムを再度動かしてみました。
和が５００以下の３数の組について調べてみたところ、
いくつか「和も積も等しい６つの組」が見つかりました。
例えば、
24+180+196 = 27+128+245 = 28+120+252 = 32+98+270 = 36+84+280 = 42+70+288
24*180*196 = 27*128*245 = 28*120*252 = 32*98*270 = 36*84*280 = 42*70*288
です。また、７つの組もあります。
35+216+260 = 36+195+280 = 40+156+315 = 42+144+325 = 45+130+336 = 60+91+360 = 72+75+364
35*216*260 = 36*195*280 = 40*156*315 = 42*144*325 = 45*130*336 = 60*91*360 = 72*75*364
こうなると
「任意の自然数ｎに対して、和も積も等しい３つの自然数の組がｎ個ある」
のではないかと予想したくなりますね。
−−−−−−
昼休みに検索したら、
こちら
にまったく同じ問題を解くプログラムを書いた方が居られました。
しかも、私の書いたプログラムよりずっっっと速いです。
こちらのプログラムによれば、 上記の予想は少なくともｎ＝１１までは正しいようです。
05.03.03
その後
Ｋさんからコメントを頂いたのでもう少し考えてみました。
やはり当初考えていたように、この問題は平面上の３次曲線の有理点に関する問題そのものです。
成分が正の有理ベクトル（ａ，ｂ，ｃ）を固定して、
この成分にそれぞれ有理数ｐ，ｑ，ｒを書けても成分の和と積が変わらないとします。
そのような条件をｐ，ｑ，ｒが満たすための条件は
ａ（ｐ−１）＋ｂ（ｑ−１）＋ｃ（ｒ−１）， ｐｑｒ＝１
です。ｒを消去して、また、はじめからａ＋ｂ＋ｃ＝１であったとして計算すると
（そうしても一般性は失いません）、
ｐｑ｛ａｐ＋ｂｑ−１｝＝ａ＋ｂ−１
となります。ここから、射影変換をつかって
ｘ＝４ａｂｃ／（ａｐ＋ｂｑ−１）、ｙ＝４ａｂｃ（ａｐ−ｂｑ）／（ａｐ＋ｂｑ−１）、
と変数の変換（ｐ，ｑ）→（ｘ，ｙ）をすると、
ｙ2＝ｘ3＋（ｘ＋４ａｂｃ）2
という形になって これがいわゆる楕円曲線であることが分かります。
楕円曲線について、ちょっと勉強したくなってきました。
05.03.05
非可換
昨日は京都へ出張でした。そのとき 師匠から聞いた話。
かつて、Ｎ先生に学生が
「先生、非可換ってよくわかりません」
と聞いたのに答えて曰く：
「『ヘルメットをかぶる』と『殴られる』の順番を変えてみたまえ」
宇宙
師匠の研究室に置いてあった書類に
「宇宙の助教授」が云々と書いてあって ？？？ と思ったら
「宇宙物理学専攻の助教授」の略でした。笑
05.03.07
カヌレ
実は、カヌレが大好物です。
ところが、そんなに食べた回数が多いというわけでもないです。
というのも、最近 なかなか売ってないからです。
たまに 思い出すように カヌレが食べたいなぁと思うのですが、
売っている場所もわからず、悶々とすることが多くありました。
ある晩、カヌレがとても気になって、大阪のカヌレ情報を検索しました。
ふむふむ、カヌレはケーキ屋ではなくて、パン屋にあるのですな。
阪神百貨店（梅田）、阪急百貨店（梅田）のパン屋にあるらしい。なるほど。
それらの情報を携帯電話のメモに入力しておきました。
そして、昨日 梅田へ買い物に出ましたので、カヌレを買い漁ることに。
以前、カヌレを食べたときは 「うまーい」と思いつつも、いつも１個しか
買わなかったような気がします（まぁ、普通そうですね。）
何だか、長いことカヌレの味に飢えている自分があり、
もう、今回はドンと大人買いしてやろう、と。山ほど買ってやろうと
思っていました。ということを妻に言うと、「好きにすればいいと思うぞ。」
というわけで、今回は
梅田阪急百貨店地下１階、ベイクドＱというお店で カヌレ5個、
梅田阪神百貨店地下１階、ル・ビアン（LE BIHAN)というお店でカヌレ3個を買いました。
妻が「私も１個ずつ食べ比べたい。」というので１個ずつあげることにして、
私の分は 計６個。ホクホク。
ところが、昨日の晩は妻がつくったシフォンケーキがあったので、
カヌレを食べるのは今日へ持ち越されることになりました。
「俺、明日の昼御飯、カヌレ6個にしよーっと。♪」
（妻「好きにするといいぞ。苦笑」）
で、ようやくお昼に。さてさて、カヌレ、カヌレ。
６つならんだカヌレ♪うまそー。
まず、こちらが ベイクドＱのカヌレです。
食してみる。。。うむ、なかなか良い味。
表面の芳ばしい蜜の焦げたのような味も、
中のしっとりと柔らかいプリンのような味も いい感じです。
ほんのりとラム酒の香りがします。
次、こちらが LE BIHANのカヌレです。
こちらのほうが 柔らかめですが、これもまた良い味。
もうちょっと表面のカリッという固さがあってもいいかなと思うけど。
さっきのベイクドＱの味と 微妙に違うのだけど、
カヌレの味の微妙な差って、表現しづらい。
ラム酒をあまり使わないようにしているのかも。
カヌレ食べまくり。もぐもぐもぐもぐ。。。まぁ、お約束ですが、
さすがに５つ目くらいから、味に飽きてきました（笑）
でも、6個 完食致しました。ふぅ、ごちそうさま。
＃しばらくカヌレはいいです。
05.03.10
研究日誌
先週の金曜日、京都へ行きましたが その際に師匠と研究打ち合わせを致しまして、
いろいろと良い結果が出そうだ、ということになり、お互い 喜んでいたのですが、
とある係数を忘れていたことが 月曜日に判明しまして、もとの木阿弥というか、
このままでは、それほど 嬉しい結果には成らないことが分かってしまいました。
そのまま 師匠は海外出張に旅立たれましたので、私の予想では、
師匠は 出張中 この問題の解決に取り組むと思われます。
ということは、出張から帰るなり 電話があると思われます。
ということで、負けじとそれなりの結果を出しておこうと思うわけです。
＃数学者は 負けず嫌いです。
月曜日は 状況の整理、で終わってしまいました。
火曜日は ちょっと別アイデアで考えてみましたが、
そのアイデアでは本質的に回避できない問題があることが分かってきました。
水曜日は 既に解決されている特殊な状況をもう一度復習して、
なにか一般化への突破口がないか関連する論文を調べてみました。
そして、今日、木曜日は なんとなくもやもやーっと頭に浮かんできたアイデアを
検証して具体化すべく いくつか関連する結果を調べてみました。
とはいえ、うちの大学の図書館にある数学関連の資料は多くはないので、
調べられなかったことも多いのですが。。
まだ、クリアしないといけないことが２つ、３つあるのですけども、
このアイデアで なんとかなるといいなぁ。。。
アイデアやメモ書きだけでなくて、そろそろ ちゃんと証明を書いて検証しないと。
05.03.13
なぞなぞ
今日、とある会に出席するために、電車で大阪方面へ向かっておりました。
車内は空いていて、私が座った席と反対側に母親に連れられた幼児の
女の子がが2人いまして、曰く：
幼児A「歯が9本ある動物ってなーんだ？」
歯が9本ある動物？なんだろう？なんだろう？分からないので、彼女たちの
会話に聞き耳を立てるも、よく聞こえない。なんだかわからないけど、
答がでてしまったようだ。
幼児A「じゃぁねー、洗濯が好きな動物ってなーんだ？」
洗濯が好き？！何だろう、、んー、んー。また彼女たちの声に集中するも、
どうにもその後が聞き取れない。んー、でも、まぁ幼児たちの なぞなぞ って
答があってないような問題のときもあるから、まぁいい加減な問題なのかもしれないな、
と思ったら、
幼児A「そしたらね、上から降ってくる動物なーんだ？」
上から降ってくる？！なんだそれは？と思った瞬間、
幼児B「ヒョウ！」
当意即妙！はっきりいって負けたと思いました。
で、歯が9本ある動物と 洗濯がすきな動物は何なのでしょう？？笑
彼女たちに聞くわけにもいかず、悶々と悩みつつ パズルの集まりへ向かいました。
05.03.16
壊れた
今朝、メインで使っているノートパソコンが壊れた様子。
出勤前で どたばたしていたので じっくり見てないのですが、
どうもあの様子は HDDクラッシュのような。。。
ノートパソコンにしか入ってないデータというのはほとんどないのですが、
毎日 一番よく使っているものなので、ちょっと困ったかも。
英語キーボード仕様だし、気に入っていたので 残念。
まぁ、キーボードのキートップの刻印が すり減って消え始めているし、
HDDもいままで２回くらい データでいっぱいになったりしたし、
十分よく使った、とは思います。
＃一番すりへっているキーはＭ。
＃その他 Ｎ，Ｈ、Ａ，Ｅ，Ｂ，Ｆ，Ｐがかなりすり減っています。
＃muleライクなキー設定が好きです。
復活？
帰宅して、おそるおそるsafeモードで立ち上げたら
＃朝はだめだったのですが、
運良く（？）ＯＳが起動しました。
その後 ＨＤＤのエラーチェックをしたところ どうも大丈夫そう。
ついでに時間がかかるけど、デフラグもしてみました。
危険かもしれないけど、この程度でだめになるなら、
ちょっとやそっと回復しても不安定でしょうし。
結果、大丈夫そうです。ふぅ。
05.03.22
連休
金曜日の晩、大学院時代の旧友Ｉが帰阪するということだったので、梅田で呑むことに。
家で呑むのと違って、ちゃんと電車で帰れねば と思い、呑みすぎないように
していたつもりだったのだけど、次の日起きたら ちょっと頭痛が残っていました。
で、土曜日は鳥取のＦさんのところへ遊びに行く予定でした。
ま、いろいろあったのだけど、ま、その辺りは省略して、
ようするにこの日も鳥取県倉吉で 結構呑んでしまいました。
さて、日曜日は 島根県松江市で教え子の結婚式でした。
朝から、ちょっとしんどい。。。という状態でしたが、
午後からの披露宴はとても楽しいものでした。
月曜日はもうお酒いらない。。。という状態。
トランプ
今回は列車の旅だったので、手慰み用にバイシクルトランプを持っていきました。
Ｆさんに少し見せたけど、それ以外は誰にも見せず。もっぱら手持ち無沙汰解消用。
帰りの新幹線で 暇だったので トランプをいじっていました。
（演目や技法の名前は 単語のイニシャルだけを表記しますね。）
技法ＤＬがまだ完全ではないので、これを克服すべく、練習、練習。
演目ＡＣ（何度もトップに同じカードが出てくるアレ）を繰り返し練習。
演目ＡＣをしながら、途中 技法ＤＣを使ったＦＣを折り混ぜて、
カードを切ったり トップを中にいれたりして、いつまでもトップが変わらないのを確認、
というのを繰り返していました。
横に座っていたのは 若いお父さんの膝に乗った幼児。
しばらくして小声で、「トランプだ」。
視線を感じながら、繰り返し練習。何をしても 常にトップはハートのエース。
ハートのエース。ハートのエース。。。。と、一回ミスって クラブの２が。
幼児：「あ、いま失敗した。」（小声で）
はい、ミスってしまいました。もっと練習します。（心の声）
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